TERCEIRA QUANTIZAÇÃO PELO SDCTIE GRACELI

TRANS-QUÂNTICA SDCTIE GRACELI, TRANSCENDENTE, RELATIVISTA SDCTIE GRACELI, E TRANS-INDETERMINADA.

FUNDAMENTA-SE EM QUE TODA FORMA DE REALIDADE SE ENCONTRA EM TRANSFORMAÇÕES, INTERAÇÕES, TRANSIÇÕES DE ESTADOS [ESTADOS DE GRACELI], ENERGIAS E FENÔMENOS DENTRO DE UM SISTEMA DE DEZ OU MAIS DIMENSÕES DE GRACELI, E CATEGORIAS DE GRACELI.

FUNÇÃO GERAL GRACELI DA TRANS- INDETERMINALIDADE PELO SDCTIE GRACELI

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.  E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES  ⇔  TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE  ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ estrutura eletrônica, spin, radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔  Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS,  ⇔   Δ MASSA ,   ⇔ Δ  CAMADAS ORBITAIS ,  ⇔  Δ FENÔMENOS  ,  ⇔  Δ  DINÂMICAS,   ⇔  Δ  VALÊNCIAS,   ⇔  Δ BANDAS,  Δ  entropia e de entalpia,  E OUTROS.  

x

 [EQUAÇÃO DE DIRAC].

 + FUNÇÃO TÉRMICA.

   +    FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

  ,      +   FUNÇÃO DE TUNELAMENTO QUÂNTICO.

  + ENTROPIA REVERSÍVEL 

+      FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

 ENERGIA DE PLANCK

X

• 
  V [R] [MA] =  Δe,M, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

  ΤDCG

  X

  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
  x
  

  sistema de dez dimensões de Graceli + 

  DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..
• 
  
• DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
  

  x

  sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].

  x

número atômico, estrutura eletrônica, níveis de energia 

[comprimento de onda (λ).

onde c, velocidade da luz, é igual a .]

X

• TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI.
• X
• CATEGORIAS DE GRACELI
• T l    T l     E l       Fl         dfG l   

  N l    El                 tf l

  P l    Ml                 tfefel 

  Ta l   Rl

           Ll
           D

Na física teórica , a mecânica quântica supersimétrica é uma área de pesquisa em que conceitos matemáticos da física de alta energia são aplicados ao campo da mecânica quântica .

Introdução [ editar ]

Compreender as conseqüências da supersimetria provou ser matematicamente assustador, e também tem sido difícil desenvolver teorias que possam explicar a quebra de simetria, ou seja , a falta de partículas parceiras observadas de igual massa. Para avançar nesses problemas, os físicos desenvolveram a mecânica quântica supersimétrica , uma aplicação da superalgebra de supersimetria (SUSY) à mecânica quântica, em oposição à teoria quântica de campos . Esperava-se que o estudo das consequências de SUSY nesse cenário mais simples levasse a um novo entendimento; notavelmente, o esforço criou novas áreas de pesquisa na própria mecânica quântica.

Por exemplo, os alunos são tipicamente ensinados a "resolver" o átomo de hidrogênio por um processo trabalhoso que começa inserindo o potencial de Coulomb na equação de Schrödinger . Após uma quantidade considerável de trabalho usando muitas equações diferenciais, a análise produz uma relação de recursão para os polinômios de Laguerre . O resultado final é o espectro dos estados de energia dos átomos de hidrogênio (rotulados pelos números quânticos n e l ). Usando as idéias extraídas do SUSY, o resultado final pode ser obtido com uma facilidade significativamente maior, da mesma maneira que os métodos do operador são usados ​​para resolver o oscilador harmônico . ^[1]Uma abordagem supersimétrica semelhante também pode ser usada para encontrar com mais precisão o espectro de hidrogênio usando a equação de Dirac. ^[2] Curiosamente, essa abordagem é análoga à maneira como Erwin Schrödinger resolveu o átomo de hidrogênio pela primeira vez. ^[3] [4] É claro que ele não chamou sua solução de supersimétrica, pois SUSY estava com trinta anos no futuro.

A solução SUSY do átomo de hidrogênio é apenas um exemplo da classe muito geral de soluções que a SUSY fornece para potenciais invariantes à forma , uma categoria que inclui a maioria dos potenciais ensinados nos cursos introdutórios de mecânica quântica.

A mecânica quântica SUSY envolve pares de hamiltonianos que compartilham uma relação matemática específica, chamados de hamiltonianos parceiros . (Os termos de energia potencial que ocorrem nos hamiltonianos são então chamados de potenciais parceiros .) Um teorema introdutório mostra que, para todos os auto - estataisde um Hamiltoniano, seu parceiro Hamiltoniano tem um eigenstato correspondente com a mesma energia (exceto possivelmente para eigenstates de energia zero). Esse fato pode ser explorado para deduzir muitas propriedades do espectro de eigenstato. É análogo à descrição original de SUSY, que se refere a bósons e férmions. Podemos imaginar um "hamiltoniano bosônico", cujos eigenstates são os vários bósons de nossa teoria. O parceiro SUSY desse hamiltoniano seria "fermiônico" e seus eigenstates seriam os fermiões da teoria. Cada bóson teria um parceiro fermiônico de energia igual - mas, no mundo relativístico, energia e massa são intercambiáveis, de modo que podemos dizer com a mesma facilidade que as partículas do parceiro têm massa igual.

Os conceitos do SUSY forneceram extensões úteis para a aproximação do WKB na forma de uma versão modificada da condição de quantização de Bohr-Sommerfeld. Além disso, o SUSY foi aplicado à mecânica estatística não-quântica por meio da equação de Fokker-Planck , mostrando que, mesmo que a inspiração original na física de partículas de alta energia pareça um beco sem saída, sua investigação trouxe muitos benefícios úteis.

Exemplo: o oscilador harmônico [ editar ]

A equação de Schrödinger para o oscilador harmônico assume a forma

$${\ displaystyle H ^ {HO} \ psi _ {n} (x) = {\ bigg (} {\ frac {- \ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2}} { dx ^ {2}}} + {\ frac {m \ omega ^ {2}} {2}} x ^ {2} {\ bigg)} \ psi _ {n} (x) = E_ {n} ^ { HO} \ psi _ {n} (x),}

X

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Onde $${\ displaystyle \ psi _ {n} (x)} é o $${\ displaystyle n}th eigenstate de energia $${\ displaystyle H ^ {HO}} com energia $${\ displaystyle E_ {n} ^ {HO}}. Queremos encontrar uma expressão para$${\ displaystyle E_ {n} ^ {HO}} em termos de $${\ displaystyle n}. Nós definimos os operadores

$${\ displaystyle A = {\ frac {\ hbar} {\ sqrt {2m}}} {\ frac {d} {dx}} + W (x)}

X

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e

$${\ displaystyle A ^ {\ punhal} = - {\ frac {\ hbar} {\ sqrt {2m}}} {\ frac {d} {dx}} + W (x),}

X

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Onde $${\ displaystyle W (x)}, que precisamos escolher, é chamado de superpotencial de $${\ displaystyle H ^ {HO}}. Também definimos o parceiro Hamiltonians acima mencionado$${\ displaystyle H ^ {(1)}} e $${\ displaystyle H ^ {(2)}} Como

$${\ displaystyle H ^ {(1)} = A ^ {\ punhal} A = {\ frac {- \ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2 }}} - {\ frac {\ hbar} {\ sqrt {2m}}} W ^ {\ prime} (x) + W ^ {2} (x)}

X

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$${\ displaystyle H ^ {(2)} = AA ^ {\ punhal} = {\ frac {- \ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2} }} + {\ frac {\ hbar} {\ sqrt {2m}}} W ^ {\ prime} (x) + W ^ {2} (x).}

X

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Um estado fundamental de energia zero $${\ displaystyle \ psi _ {0} ^ {(1)} (x)} do $${\ displaystyle H ^ {(1)}} satisfaria a equação

$${\ displaystyle H ^ {(1)} \ psi _ {0} ^ {(1)} (x) = A ^ {\ punhal} A \ psi _ {0} ^ {(1)} (x) = A ^ {\ punhal} {\ bigg (} {\ frac {\ hbar} {\ sqrt {2m}}} {\ frac {d} {dx}} + W (x) {\ bigg)} \ psi _ {0 } ^ {(1)} (x) = 0.}

X

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Supondo que sabemos o estado fundamental do oscilador harmônico $${\ displaystyle \ psi _ {0} (x)}, podemos resolver para $${\ displaystyle W (x)} Como

$${\ displaystyle W (x) = {\ frac {- \ hbar} {\ sqrt {2m}}} {\ bigg (} {\ frac {\ psi _ {0} ^ {\ prime} (x)} {\ psi _ {0} (x)}} {\ bigg)} = x {\ sqrt {m \ omega ^ {2} / 2}}}

X

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Então descobrimos que

$${\ displaystyle H ^ {(1)} = {\ frac {- \ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + {\ frac { m \ omega ^ {2}} {2}} x ^ {2} - {\ frac {\ hbar \ omega} {2}}}

X

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$${\ displaystyle H ^ {(2)} = {\ frac {- \ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + {\ frac { m \ omega ^ {2}} {2}} x ^ {2} + {\ frac {\ hbar \ omega} {2}}.}

X

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Agora podemos ver que

$${\ displaystyle H ^ {(1)} = H ^ {(2)} - \ hbar \ omega = H ^ {HO} - {\ frac {\ hbar \ omega} {2}}.}

X

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Este é um caso especial de invariância de forma, discutido abaixo. Tomando sem prova o teorema introdutório mencionado acima, é evidente que o espectro de$${\ displaystyle H ^ {(1)}} começará com $${\ displaystyle E_ {0} = 0} e continue para cima em etapas de $${\ displaystyle \ hbar \ omega.} Os espectros de $${\ displaystyle H ^ {(2)}} e $${\ displaystyle H ^ {HO}} terá o mesmo espaçamento uniforme, mas será alterado por valores $${\ displaystyle \ hbar \ omega} e $${\ displaystyle \ hbar \ omega / 2}, respectivamente. Daqui resulta que o espectro de$${\ displaystyle H ^ {HO}} é, portanto, o familiar $${\ displaystyle E_ {n} ^ {HO} = \ hbar \ omega (n + 1/2)}.

X

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A superalgebra SUSY QM [ editar ]

Na mecânica quântica fundamental, aprendemos que uma álgebra de operadores é definida por relações de comutação entre esses operadores. Por exemplo, os operadores canônicos de posição e momento têm o comutador$${\ displaystyle [x, p] = i}. (Aqui, usamos " unidades naturais " em que a constante de Planck é definida como igual a 1.) Um caso mais complexo é a álgebra dos operadores de momento angular ; essas quantidades estão intimamente ligadas às simetrias rotacionais do espaço tridimensional. Para generalizar esse conceito, definimos um anticomutador , que relaciona operadores da mesma maneira que um comutador comum , mas com o sinal oposto:

$${\ displaystyle \ {A, B \} = AB + BA.}

X

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Se os operadores são relacionados tanto por anticomutadores quanto por comutadores, dizemos que eles fazem parte de uma superálgebra de Lie . Digamos que temos um sistema quântico descrito por um Hamiltoniano$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}} e um conjunto de $${\ displaystyle N} operadores $${\ displaystyle Q_ {i}}. Vamos chamar esse sistema de supersimétrico se a seguinte relação anticomutação for válida para todos$${\ displaystyle i, j = 1, \ ldots, N}:

$${\ displaystyle \ {Q_ {i}, Q_ {j} ^ {\ punhal} \} = {\ mathcal {H}} \ delta _ {ij}.}

X

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Se for esse o caso, chamamos $${\ displaystyle Q_ {i}}as sobretaxas do sistema .

Exemplo [ editar ]

Vejamos o exemplo de uma partícula não-relativística unidimensional com um grau de liberdade interna 2D ( isto é, dois estados) chamado "spin" (não é realmente spin porque o spin "real" é uma propriedade das partículas 3D). Deixei$${\ displaystyle b}ser um operador que transforma uma partícula "giratória" em uma partícula "giratória". É adjacente$${\ displaystyle b ^ {\ punhal}}depois transforma uma partícula de spin down em uma partícula de spin up; os operadores são normalizados de modo que o anticomutador$${\ displaystyle \ {b, b ^ {\ punhal} \} = 1}. E claro,$${\ displaystyle b ^ {2} = 0}. Deixei$${\ displaystyle p} ser o momento da partícula e $${\ displaystyle x} ser sua posição com $${\ displaystyle [x, p] = i}. Deixei$${\ displaystyle W}(o " superpotencial ") seja uma função analítica complexa arbitrária de$${\ displaystyle x} e definir os operadores supersimétricos

$${\ displaystyle Q_ {1} = {\ frac {1} {2}} \ left [(p-iW) b + (p + iW ^ {\ punhal}) b ^ {\ punhal} \ right]}

$${\ displaystyle Q_ {2} = {\ frac {i} {2}} \ left [(p-iW) b- (p + iW ^ {\ dagger}) b ^ {\ dagger} \ right]}

X

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Observe que $${\ displaystyle Q_ {1}} e $${\ displaystyle Q_ {2}}são auto-adjuntos. Deixe o Hamiltoniano

$${\ displaystyle H = \ {Q_ {1}, Q_ {1} \} = \ {Q_ {2}, Q_ {2} \} = {\ frac {(p + \ Im \ {W \}) ^ {2 }} {2}} + {\ frac {{\ Re \ {W \}} ^ {2}} {2}} + {\ frac {\ Re \ {W \} '} {2}} (bb ^ {\ punhal} -b ^ {\ punhal} b)}

X

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onde W' é a derivada de W . Observe também que { Q ₁ , Q ₂ } = 0. Isso nada mais é do que N = 2 supersimetria. Observe que$${\ displaystyle \ Im \ {W \}}age como um potencial vetorial eletromagnético .

Vamos também chamar o estado de spin down de "bosônico" e o estado de spin up de "fermiônico". Isso é apenas em analogia à teoria quântica de campos e não deve ser tomada literalmente. Então, Q ₁ e Q ₂ mapeia estados "bosônicos" em estados "fermiônicos" e vice-versa.

Vamos reformular isso um pouco:

Definir

$${\ displaystyle Q = (p-iW) b}

X

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e claro,

$${\ displaystyle Q ^ {\ punhal} = (p + iW ^ {\ punhal}) b ^ {\ punhal}}

$${\ displaystyle \ {Q, Q \} = \ {Q ^ {\ punhal}, Q ^ {\ punhal} \} = 0}

X

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e

$${\ displaystyle \ {Q ^ {\ punhal}, Q \} = 2H}

X

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Um operador é "bosônico" se mapeia estados "bosônicos" para estados "bosônicos" e estados "fermiônicos" para estados "fermiônicos". Um operador é "fermiônico" se mapeia estados "bosônicos" para estados "fermiônicos" e vice-versa. Qualquer operador pode ser expresso exclusivamente como a soma de um operador bosônico e um operador fermiônico. Defina o supercomutador [,} da seguinte forma: Entre dois operadores bosônicos ou um operador bosônico e fermiônico, ele não é outro senão o comutador, mas entre dois operadores fermiônicos, ele é um anticomutador .

Então, x e p são operadores bosônicos eb, $${\ displaystyle b ^ {\ punhal}}, Q e $${\ displaystyle Q ^ {\ punhal}} são operadores fermiônicos.

Vamos trabalhar na figura de Heisenberg onde x, be$${\ displaystyle b ^ {\ punhal}} são funções do tempo.

Então,

$${\ displaystyle [Q, x \} = - ib}

$${\ displaystyle [Q, b \} = 0}

$${\ displaystyle [Q, b ^ {\ punhal} \} = {\ frac {dx} {dt}} - i \ Re \ {W \}}

$${\ displaystyle [Q ^ {\ punhal}, x \} = ib ^ {\ punhal}}

$${\ displaystyle [Q ^ {\ punhal}, b \} = {\ frac {dx} {dt}} + i \ Re \ {W \}}

X

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$${\ displaystyle [Q ^ {\ punhal}, b ^ {\ punhal} \} = 0}

Isso não é linear em geral: ie, x (t), b (t) e$${\ displaystyle b ^ {\ punhal} (t)} não formam uma representação SUSY linear porque $${\ displaystyle \ Re \ {W \}}não é necessariamente linear em x. Para evitar esse problema, defina o operador autônomo$${\ displaystyle F = \ Re \ {W \}}. Então,

$${\ displaystyle [Q, x \} = - ib}

$${\ displaystyle [Q, b \} = 0}

$${\ displaystyle [Q, b ^ {\ punhal} \} = {\ frac {dx} {dt}} - iF}

$${\ displaystyle [Q, F \} = - {\ frac {db} {dt}}}

$${\ displaystyle [Q ^ {\ punhal}, x \} = ib ^ {\ punhal}}

$${\ displaystyle [Q ^ {\ punhal}, b \} = {\ frac {dx} {dt}} + iF}

$${\ displaystyle [Q ^ {\ punhal}, b ^ {\ punhal} \} = 0}

$${\ displaystyle [Q ^ {\ punhal}, F \} = {\ frac {db ^ {\ punhal}} {dt}}}

X

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e vemos que temos uma representação SUSY linear.

Agora vamos apresentar duas quantidades "formais", $${\ displaystyle \ theta}; e$${\ displaystyle {\ bar {\ theta}}} sendo este último o adjunto do primeiro, de modo que

$${\ displaystyle \ {\ theta, \ theta \} = \ {{\ bar {\ theta}}, {\ bar {\ theta}} \} = \ {{\ bar {\ theta}}, \ theta \} = 0}

e ambos se deslocam com operadores bosônicos, mas anticomutam com operadores fermiônicos.

Em seguida, definimos uma construção chamada superfield :

$${\ displaystyle f (t, {\ bar {\ theta}}, \ theta) = x (t) -i \ theta b (t) -i {\ bar {\ theta}} b ^ {\ punhal} (t ) + {\ bar {\ theta}} \ theta F (t)}

X

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f é auto-adjunta, é claro. Então,

$${\ displaystyle [Q, f \} = {\ frac {\ parcial} {\ parcial \ theta}} fi {\ bar {\ theta}} {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} f,}

X

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$${\ displaystyle [Q ^ {\ punhal}, f \} = {\ frac {\ parcial} {\ parcial {\ bar {\ theta}}}} fi \ theta {\ frac {\ parcial} {\ parcial t} } f.}

X

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Aliás, há também uma simetria U (1) _R , com p e x e W tendo zero cargas R e$${\ displaystyle b ^ {\ punhal}} tendo uma carga R de 1 eb tendo uma carga R de -1.

Forma invariância [ editar ]

Suponha $${\ displaystyle W} é real para tudo real $${\ displaystyle x}. Então podemos simplificar a expressão para o hamiltoniano

$${\ displaystyle H = {\ frac {(p) ^ {2}} {2}} + {\ frac {{W} ^ {2}} {2}} + {\ frac {W '} {2}} (bb ^ {\ punhal} -b ^ {\ punhal} b)}

X

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Existem certas classes de superpotenciais, de modo que os hamiltonianos bosônicos e fermiônicos têm formas semelhantes. Especificamente

$${\ displaystyle V _ {+} (x, a_ {1}) = V _ {-} (x, a_ {2}) + R (a_ {1})}

X

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onde o $${\ displaystyle a}são parâmetros. Por exemplo, o potencial do átomo de hidrogênio com momento angular$${\ displaystyle l} pode ser escrito dessa maneira.

$${\ displaystyle {\ frac {-e ^ {2}} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ frac {1} {r}} + {\ frac {h ^ {2} l (l + 1)} {2m}} {\ frac {1} {r ^ {2}}} - E_ {0}}

X

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Isso corresponde a $${\ displaystyle V _ {-}} para o superpotencial

$${\ displaystyle W = {\ frac {\ sqrt {2m}} {h}} {\ frac {e ^ {2}} {24 \ pi \ epsilon _ {0} (l + 1)}} - {\ frac {h (l + 1)} {r {\ sqrt {2m}}}}}}

X

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$${\ displaystyle V _ {+} = {\ frac {-e ^ {2}} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ frac {1} {r}} + {\ frac {h ^ {2 } (l + 1) (l + 2)} {2m}} {\ frac {1} {r ^ {2}}} + {\ frac {e ^ {4} m} {32 \ pi ^ {2} h ^ {2} \ epsilon _ {0} ^ {2} (l + 1) ^ {2}}}}

X

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Esse é o potencial para $${\ displaystyle l + 1}momento angular alterado por uma constante. Depois de resolver o$${\ displaystyle l = 0} No estado fundamental, os operadores supersimétricos podem ser usados ​​para construir o restante do espectro do estado ligado.

Em geral, desde $${\ displaystyle V _ {-}} e $${\ displaystyle V _ {+}}são potenciais parceiros, eles compartilham o mesmo espectro de energia, exceto a energia extra terrestre. Podemos continuar esse processo de encontrar potenciais parceiros com a condição de invariância da forma, fornecendo a seguinte fórmula para os níveis de energia em termos dos parâmetros do potencial

$${\ displaystyle E_ {n} = \ soma \ limites _ {i = 1} ^ {n} R (a_ {i})}

X

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Onde $${\ displaystyle a_ {i}} são os parâmetros para os múltiplos potenciais associados.

A álgebra de supersimetria [ editar ]

Artigo principal: Álgebra de supersimetria

As simetrias tradicionais da física são geradas por objetos que se transformam pelas representações tensoriais do grupo Poincaré e simetrias internas. Supersimetrias, no entanto, são geradas por objetos que se transformam pelas representações de rotação . De acordo com o teorema da estatística de spin , os campos bosônicos se alternam, enquanto os campos fermiônicos são anticomutadores . A combinação dos dois tipos de domínios num único álgebra requer a introdução de um Z ₂ -gradingsob a qual os bósons são os elementos pares e os férmions os elementos ímpares. Essa álgebra é chamada de superalgebra de Lie .

A extensão supersimétrica mais simples da álgebra de Poincaré é a álgebra de Super-Poincaré . Expressa em termos de dois spinors de Weyl , tem a seguinte relação anti-comutação :

$${\ displaystyle \ {Q _ {\ alpha}, {\ bar {Q}} _ {\ dot {\ beta}} \} = 2 (\ sigma ^ {\ mu}) _ {\ alpha {\ dot {\ beta }}} P _ {\ mu}}

X

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e todas as outras relações anti-comutação entre os Qs e as relações de comutação entre os Qs e Ps desaparecem. Na expressão acima, P _μ = - i ∂ _μ são os geradores da tradução e σ ^μ são as matrizes de Pauli .

Existem representações de uma superalgebra de Lie que são análogas às representações de uma álgebra de Lie. Cada álgebra de Lie tem um grupo de Lie associado e uma superalgebra de Lie às vezes pode ser estendida em representações de um supergrupo de Lie .

Na física teórica , existem muitas teorias com supersimetria (SUSY) que também possuem simetrias de calibre interno . A teoria supersimétrica de calibre generaliza essa noção.

Teoria de calibre [ editar ]

A teoria de gauge é uma estrutura matemática para analisar ^{[ duvidosa - discutir ]} simetrias de calibre. Existem dois tipos de simetrias, a saber, global e local. Uma simetria global é a simetria que permanece invariável em cada ponto de uma variedade (a variedade pode ser de coordenadas de espaço-tempo ou de números quânticos internos ). Uma simetria local é a simetria que depende do espaço sobre o qual é definida e muda com a variação nas coordenadas. Assim, essa simetria é invariável apenas localmente (ou seja, em uma vizinhança no coletor).

As equações de Maxwell e a eletrodinâmica quântica são exemplos famosos de teorias de gauge.

Supersimetria [ editar ]

Na física de partículas , existem partículas com dois tipos de estatística de partículas , bósons e férmions. Os bósons carregam valores de spin inteiro e são caracterizados pela capacidade de ter qualquer número de bósons idênticos ocupando um único ponto no espaço. Eles são assim identificados com forças . Os férmions carregam valores de spin meio-inteiro e, pelo princípio de exclusão de Pauli , férmions idênticos não podem ocupar uma única posição no espaço-tempo. Eles são identificados com a matéria. Assim, o SUSY é considerado um forte candidato à unificação da radiação (forças mediadas pelo bóson) e da matéria.

Esse mecanismo ^[ qual? ] funciona através de um operador$${\ displaystyle Q}, conhecido como gerador de supersimetria , que age da seguinte maneira:

$${\ displaystyle Q | {\ text {boson}} \ rangle = | {\ text {fermion}} \ rangle}
$${\ displaystyle Q | {\ text {fermion}} \ rangle = | {\ text {boson}} \ rangle}

Por exemplo, o gerador de supersimetria pode pegar um fóton como argumento e transformá-lo em um fóton e vice-versa. Isso acontece através da tradução no espaço (parâmetro). Esse superespaço é um$${\ displaystyle {\ mathbb {Z} _ {2}}}espaço vetorial com classificação $${\ displaystyle {\ mathcal {W}} = {\ mathcal {W}} ^ {0} \ oplus {\ mathcal {W}} ^ {1}}, Onde $${\ displaystyle {\ mathcal {W}} ^ {0}} é o espaço Hilbert bosônico e $${\ displaystyle {\ mathcal {W}} ^ {1}} é o espaço fermiônico de Hilbert.

Teoria do medidor SUSY [ editar ]

A motivação para uma versão supersimétrica da teoria dos medidores pode ser o fato de que a invariância do medidor é consistente com a supersimetria. Os primeiros exemplos foram descobertos por Bruno Zumino e Sergio Ferrara e, independentemente, por Abdus Salam e James Strathdee em 1974.

Porque tanto os férmions de spin meio-inteiro quanto os bósons de spin inteiro podem se tornar partículas de bitola. Além disso, os campos de vetores e os campos de spinor residem na mesma representação do grupo de simetria interna.

Suponha que tenhamos uma transformação de medidor $${\ displaystyle V _ {\ mu} \ rightarrow V _ {\ mu} + \ parcial _ {\ mu} A}, Onde $${\ displaystyle V _ {\ mu}} é um campo vetorial e $${\ displaystyle A}é a função do medidor. O principal problema na construção da teoria de calibre SUSY é estender a transformação acima de uma maneira que seja consistente com as transformações de SUSY.

O medidor Wess-Zumino fornece uma solução bem-sucedida para esse problema. Uma vez obtido esse medidor adequado, a dinâmica da teoria do SUSY gauge funciona da seguinte forma: buscamos um lagrangiano invariante sob as transformações do super-calibre (essas transformações são uma ferramenta importante necessária para desenvolver a versão supersimétrica de uma teoria de calibre). Em seguida, podemos integrar o lagrangiano usando as regras de integração de Berezin e, assim, obter a ação. O que leva ainda mais às equações do movimento e, portanto, pode fornecer uma análise completa da dinâmica da teoria.

N = 1 SUSY em 4D (com 4 geradores reais) [ editar ]

Em quatro dimensões, a supersimetria mínima N = 1 pode ser escrita usando um superespaço . Esse superespaço envolve quatro coordenadas fermiônicas extras$${\ displaystyle \ theta ^ {1}, \ theta ^ {2}, {\ bar {\ theta}} ^ {1}, {\ bar {\ theta}} ^ {2}}, transformando como um spinor de dois componentes e seu conjugado.

Todo superfield, isto é, um campo que depende de todas as coordenadas do superespaço, pode ser expandido com relação às novas coordenadas fermiônicas. Existe um tipo especial de superfields, os chamados superfields quirais , que dependem apenas das variáveis θ, mas não de seus conjugados (mais precisamente,$${\ displaystyle {\ overline {D}} f = 0}) No entanto, um supercampo vetorial depende de todas as coordenadas. Ele descreve um campo de medida e seu superparceiro , a saber, um férmion de Weyl que obedece a uma equação de Dirac .

$${\ displaystyle V = C + i \ theta \ chi -i {\ overline {\ theta}} {\ overline {\ chi}} + {\ tfrac {i} {2}} \ theta ^ {2} (M + iN) - {\ tfrac {i} {2}} {\ overline {\ theta ^ {2}}} (M-iN) - \ theta \ sigma ^ {\ mu} {\ overline {\ theta}} v_ { \ mu} + i \ theta ^ {2} {\ overline {\ theta}} \ left ({\ overline {\ lambda}} - {\ tfrac {i} {2}} {\ overline {\ sigma}} ^ {\ mu} \ parcial _ {\ mu} \ chi \ right) -i {\ overline {\ theta}} ^ {2} \ theta \ left (\ lambda + {\ tfrac {i} {2}} \ sigma ^ {\ mu} \ parcial _ {\ mu} {\ overline {\ chi}} \ right) + {\ tfrac {1} {2}} \ theta ^ {2} {\ overline {\ theta}} ^ { 2} \ left (D + {\ tfrac {1} {2}} \ Caixa C \ right)}

X

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V é o vector Superfield ( prepotential ) e é real ( V = V ). Os campos no lado direito são campos de componentes.

As transformações do medidor atuam como

$${\ displaystyle V \ to V + \ Lambda + {\ overline {\ Lambda}}}

X

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onde Λ é qualquer superfield quiral.

É fácil verificar se o super-campo quiral

$${\ displaystyle W _ {\ alpha} \ equiv - {\ tfrac {1} {4}} {\ overline {D}} ^ {2} D _ {\ alpha} V}

X

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é invariável. Assim é o seu complexo conjugado$${\ displaystyle {\ overline {W}} _ {\ dot {\ alpha}}}.

Um medidor covariante não supersimétrico que é frequentemente usado é o medidor Wess – Zumino . Aqui, C, χ, M e N estão todos definidos como zero. As simetrias de bitola residual são transformações de bitola do tipo bosônico tradicional.

Um superfield quiral X com uma carga de q se transforma como

$${\ displaystyle X \ para e ^ {q \ Lambda} X, \ qquad {\ overline {X}} \ para e ^ {q {\ overline {\ Lambda}}} X}

X

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Portanto, X e ^- qV X é invariável. Aqui, e ^- qV é chamado de ponte, pois "liga" um campo que se transforma em Λ somente com um campo que se transforma em Λ somente.

De maneira mais geral, se tivermos um grupo de medidores reais G que desejamos supersimetrizar, primeiro precisamos complexificá- lo para G ^c ⋅ e ^{- qV e} depois ^agiremos como compensador pelas transformações complexas de medidores, absorvendo-as deixando apenas as partes reais. É isso que está sendo feito no medidor de Wess – Zumino.

Superformas diferenciais [ editar ]

Vamos reformular tudo para parecer mais uma teoria convencional dos medidores de Yang-Mills . Temos uma simetria de calibre U (1) agindo sobre o superespaço completo com uma conexão de calibre 1 de superforma A. Na base analítica do espaço tangente, a derivada covariante é dada por$${\ displaystyle D_ {M} = d_ {M} + iqA_ {M}}.

X

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 Condições de integrabilidade para superfields quirais com a restrição quiral

$${\ displaystyle {\ overline {D}} _ {\ dot {\ alpha}} X = 0}

deixe-nos com

$${\ displaystyle \ left \ {{\ overline {D}} _ {\ dot {\ alpha}}, {\ overline {D}} _ {\ dot {\ beta}} \ right \} = F _ {{\ dot {\ alpha}} {\ dot {\ beta}}} = 0.}

Uma restrição semelhante para superfields anti-quirais nos deixa com F _αβ = 0 . Isso significa que podemos avaliar a correção$${\ displaystyle A _ {\ dot {\ alpha}} = 0}ou A _α = 0, mas não os dois simultaneamente. Chame os dois esquemas diferentes de fixação de bitola I e II, respectivamente. Na bitola I,$${\ displaystyle {\ overline {d}} _ {\ dot {\ alpha}} X = 0}e no calibre II, d _α X = 0 . Agora, o truque é usar dois medidores diferentes simultaneamente; medidor I para superfields quirais e medidor II para superfields antichirais. Para fazer a ponte entre os dois medidores diferentes, precisamos de uma transformação de medidor. Chame de e ^- V (por convenção). Se estivéssemos usando um medidor para todos os campos, X X seria invariável. No entanto, precisamos de calibre converso I para medir II, transformando X para ( e ^- V ) ^q X . Portanto, a quantidade invariante do medidor é X e ^- qV X.

X

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No medidor I, ainda temos o medidor residual e ^Λ onde$${\ displaystyle {\ overline {d}} _ {\ dot {\ alpha}} \ Lambda = 0}e no medidor II, temos o medidor residual e ^Λ satisfazendo d _α Λ = 0 . Sob os indicadores residuais, a ponte se transforma em

$${\ displaystyle e ^ {- V} \ para e ^ {- {\ overline {\ Lambda}} - V- \ Lambda}.}

X

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Sem restrições adicionais, a ponte e ^- V não forneceria todas as informações sobre o campo de medidor. No entanto, com a restrição adicional$${\ displaystyle F _ {{\ dot {\ alpha}} \ beta}}, há apenas um campo de medidor exclusivo que é compatível com as transformações do medidor de ponte. Agora, a ponte fornece exatamente o mesmo conteúdo de informações que o campo medidor.

Considere uma partícula unidimensional , não relativista, com um grau de liberdade interna de dois estados chamado " spin ". (Esta não é a noção usual de spin encontrada na mecânica quântica não-relativística, porque o spin "real" se aplica apenas a partículas no espaço tridimensional .) Seja b e seu adjetivo hermitiano b ^† significam operadores que transformam uma partícula "spin up" em uma partícula "spin down" e vice-versa, respectivamente. Além disso, tome b e b ^† para ser normalizado, de modo que o anticomutador { b , b ^†} é igual a 1 e assume que b ² é igual a 0. Seja p o momento da partícula ex x sua posição com [ x , p ] = i, onde usamos unidades naturais para que$${\ displaystyle \ hbar = 1}. Seja W (o superpotencial ) uma função diferenciável arbitrária de x e defina os operadores supersimétricos Q ₁ e Q ₂ como

$${\ displaystyle Q_ {1} = {\ frac {1} {2}} \ left [(p-iW) b + (p + iW) b ^ {\ punhal} \ right]}

$${\ displaystyle Q_ {2} = {\ frac {i} {2}} \ left [(p-iW) b- (p + iW) b ^ {\ punhal} \ right]}

X

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Observe que Q ₁ e Q ₂ parecem auto-adjuntos. Deixe o Hamiltonian ser

$${\ displaystyle H = \ {Q_ {1}, Q_ {1} \} = \ {Q_ {2}, Q_ {2} \} = {\ frac {p ^ {2}} {2}} + {\ frac {W ^ {2}} {2}} + {\ frac {W '} {2}} (bb ^ {\ punhal} -b ^ {\ punhal} b)}

X

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onde W' significa a derivados de W . Observe também que { Q ₁ , Q ₂ } = 0. Nessas circunstâncias, o sistema acima é um modelo de brinquedo de supersimetria N = 2. Os estados de spin down e spin up são freqüentemente chamados de estados " bosônico " e " fermiônico ", respectivamente, em analogia à teoria quântica de campos . Com estas definições, Q ₁ e Q ₂ mapa estados "bosônicos" em estados "fermiônicos" e vice-versa.

$${\ displaystyle H = {\ frac {p ^ {2}} {2}} + {\ frac {W ^ {2}} {2}} \ pm {\ frac {W '} {2}}}

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